薄板和薄膜的基本理论

北京理工大学 | 李明健

基本概念

薄板是厚度 $h$ 远小于底面尺寸的平面构件。

薄板上的载荷有两种：面内的，可以按照 平面应力问题 求解；面外的（垂直于中面），将引起 薄板弯曲变形，这是本文主要讨论的内容。

基本假设

1. 变形前中面法线上的各点，变形后仍然位于同一法线上，且法线上各点距离不变。
2. 认为 $\sigma_z$ 可以忽略。

基本方程

几何方程

不考虑三个应变分量，即 $\varepsilon_z=\gamma_{xz}=\gamma_{yz}=0$，我们有薄板内任一点的应变为：

其中，中面沿着 $x$ 方向和 $y$ 方向的曲率变化、以及扭率变化分别定义为：

而薄板的中面应变为：

将中面三个式子求二阶偏导并综合起来，可以得到薄板中面的 变形协调方程：

物理方程

薄板任一点的应力为：

将几何方程代入，得到：

其中，中面上的应力 $\sigma_x^0$ ， $\sigma_x^0$， $\tau_{xy}^0$ 与 $z$ 无关，称为 薄膜应力，其余部分为 弯曲应力，薄膜应力具体形式为：

薄板的 内力 分为以下几种：

薄膜力：

弯矩和扭矩：

剪力：

这里，薄膜力和弯矩可以直接得到，剪力无法通过胡克定律得到，需要平衡方程来补充。

平衡方程

通过力和力矩分析，薄板的平衡方程共有 5 个：

根据后两个式子，剪力可以表示为：

其中 抗弯刚度 为：

基本微分方程

在 5 个平衡方程中，消去剪力，得到 3 个平衡方程：

以上 3 个方程有 4 个未知量，补充一个中面变形协调方程。同时引入 应力函数 $\varphi$，使其满足：

最终得到 卡门方程组：

薄板和薄膜的分类

上述卡门方程组，是一般性的方程，以下为几个特例。

大挠度薄板 ：（通常满足 $1/5 < w/h <5$ ）直接使用卡门方程组即可。

小挠度薄板 ：（通常满足 $w/h <1/5$ ）挠度远小于厚度 $w\ll h$ ，认为中面无线应变、无角应变，板内无薄膜力。此时，应力函数可取为：

小挠度薄板微分方程简化为：

薄膜：（通常满足 $w/h > 5$ ）假设抗弯刚度 $D=0$ ，去掉卡门方程组第一式左边项，即得到：

非常柔韧的薄膜：在薄膜假设中，进一步假设薄膜内的应力是均匀的，即：

则可以进一步简化为：

以上。