材料失效及四大强度理论

北京理工大学 | 李明健

材料或结构的力学行为使其丧失正常功能的现象，称为失效（failure），包括以下几种形式：

强度失效，包括：

• 屈服（流动）

  韧性材料在单向应力或纯剪切下进入塑性变形

• 断裂

  脆性材料在拉伸或剪切时沿最大拉应力作用面断裂，没有明显塑性

刚度失效：过量弹性变形或位移。

屈曲失效：平衡构型的突然转变。

疲劳失效：交变应力作用而断裂。

蠕变失效：一定温度或应力作用下，变形或位移随时间不断增加。

松弛失效：一定温度下，应变不变，应力随时间降低。

四个常用强度理论：

• 第一强度理论（最大拉应力理论）

  脆性材料：石、砖、铸铁、玻璃、石膏、陶瓷等

  第一主应力（最大拉应力）超过极限则断裂：

  $$\sigma_1 \leq [\sigma]$$

• 第二强度理论（最大拉应变理论）

  少数脆性材料特定情况：石料、混凝土等单轴压缩

  第一主应变超过极限则断裂：

  $$\varepsilon_1=\frac{1}{E}[\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) ]$$

  即：

  $$\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) \leq [\sigma]$$

• 第三强度理论（最大剪应力理论，Tresca 准则）

  韧性材料：低碳钢等，偏保守

  最大剪应力超过极限则屈服：

  $$\tau_\text{max} = \frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_3)$$

  即：

  $$\sigma_1- \sigma_3 \leq [\sigma]$$

  注： $(\sigma_1- \sigma_3)$ 有时也被称为应力强度（stress intensity），是最大剪应力的 2 倍。

• 第四强度理论（畸变能密度理论，von Mises 准则）

  韧性材料：钢等，最常用

  畸变能密度超过极限则屈服：

  $$u_d = \frac{1+\mu}{6E}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 +(\sigma_2-\sigma_3)^2 +(\sigma_3-\sigma_1)^2 \right]$$

  即：

  $$\sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 +(\sigma_2-\sigma_3)^2 +(\sigma_3-\sigma_1)^2\right] } \leq [\sigma]$$

  注：该应力称为 Mises 应力，有时简称为等效应力（equivalent stress），也可写成：

  $$\sigma_e= \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_x-\sigma_y)^2 +(\sigma_y-\sigma_z)^2 +(\sigma_z-\sigma_x)^2+6(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2)\right] }=\sqrt{3J_2}$$

  同时可以推导出等效应变为：

  $$\varepsilon_e= \sqrt{ \frac{2}{9} \left[ (\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2 +(\varepsilon_y-\varepsilon_z)^2 +(\varepsilon_z-\varepsilon_x)^2+6(\gamma_{xy}^2+\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2)\right] }$$

以上。