有限差分法基本原理

北京理工大学 | 李明健

有限差分法（Finite difference method，FDM）是一种微分方程的数值解法。有限差分法可用于时间离散，也可用于空间离散，是最基础、应用最广泛的数值方法之一，在计算流体力学、计算传热学、计算电磁学等领域均有广泛应用。

$x$ $f(x)$ ，我们将其进行 Taylor 展开：

f (x + Δ x) = f (x) + \frac{Δ x}{1!} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{Δ x^{2}}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + O (Δ x^{3})

那么其一阶导数可以表示为：

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} - \frac{Δ x}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - O (Δ x^{2})

忽略余项，则可以得到：

\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

欧拉向前差分 $\Delta x$ 的一阶函数，因此具有一阶精度，余项称为截断误差。

同理，欧拉向后差分为：

\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f (x) - f (x - Δ x)}{Δ x}

欧拉向后差分同样具有一阶精度。如何构建二阶精度的差分格式呢？首先，写出两组 Taylor 展开公式：

\begin{matrix} {\begin{aligned} f (x + Δ x) = f (x) + \frac{Δ x}{1!} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{Δ x^{2}}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{Δ x^{3}}{3!} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} + O (Δ x^{4}) \\ f (x - Δ x) = f (x) - \frac{Δ x}{1!} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{Δ x^{2}}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - \frac{Δ x^{3}}{3!} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} + O (Δ x^{4}) \end{aligned} \end{matrix}

将两式相减，得到：

\frac{f (x + Δ x) - f (x - Δ x)}{2 Δ x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{Δ x^{2}}{3!} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} + O (Δ x^{3})

忽略余项得到：

\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f (x + Δ x) - f (x - Δ x)}{2 Δ x}

这就是具有二阶精度的中心差分格式。