有限体积法基本概念

北京理工大学 | 李明健

有限体积法（Finite volume method，FVM）是计算流体力学领域最流行的数值模拟方法。它有两大优点：

考虑以下一般形式的偏微分方程：

\frac{\partial (ρ φ)}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ u φ) = \nabla \cdot (Γ \nabla φ) + S

上式中的四项分别为时间项、对流项、扩散项源项 $\varphi$ $\varphi, \Gamma, S$ 的取值不同，分别演化成连续性方程、动量方程、能量方程等，因此将该方程称为通用守恒方程。该方程表示各变量在输运过程中的守恒关系，是微分意义的守恒。

$V$ ，在控制体积内积分：

\int_{V} \frac{\partial (ρ φ)}{\partial t} d V + \int_{V} \nabla \cdot (ρ u φ) d V = \int_{V} \nabla \cdot (Γ \nabla φ) d V + \int_{V} S d V

则该式表示积分意义的守恒。

$V$ $\boldsymbol f$ 散度的体积分转化为围绕该体的面积分：

\int_{V} \nabla \cdot f d V = \oint_{A} n \cdot f d A

$A$ $A_i$ $A_i$ 上的面积分可进一步转化为求和的形式：

\int_{A_{i}} n \cdot f d A_{i} = \sum_{j}^{n_{i p}} n_{j} \cdot f_{j} w_{j} A_{i}

$n_{ip}$ $w_j$ $A_i$ 为面积。虽然有多种积分格式可以选择，但通常选择在每个面上取一个高斯积分点，位于面心，权重为1，该格式具有二阶精度。

则散度的体积分可以转化为以下形式：

\int_{V} \nabla \cdot f d V = \sum_{i}^{n_{A}} n_{i} \cdot f_{i} A_{i}

$n_A$ 为围成该控制体的面片数量。该方法用在对流项和扩散项上。

对于源项，需要进行体积分，根据高斯数值积分方法：

\int_{V} S d V = \sum_{j}^{n_{i p}} S_{j} w_{j} V

同样，通常采用单点高斯积分，具有二阶精度。

则通用守恒方程可以写为：

\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} ρ φ d V + \oint_{A} n \cdot (ρ u φ) d A = \oint_{A} n \cdot (Γ \nabla φ) d A + \int_{V} S d V

进一步写成半离散格式：

\frac{\partial}{\partial t} ρ φ V + \sum_{i}^{n_{A}} n_{i} \cdot (ρ u φ)_{i} A_{i} = \sum_{i}^{n_{A}} n_{i} \cdot (Γ \nabla φ)_{i} A_{i} + S V

这样就得到了有限体积法的空间离散格式，再结合具体的时间积分方案，就能够得到完全离散格式，并进行求解。