弹性力学的基本概念、假设和基本方程

北京理工大学 | 李明健

弹性是指外力或其他作用消失后，物体恢复原状的特性，是固体材料的基本属性之一。弹性体 是仅考虑弹性性质的一种理想物体。

弹性力学 是固体力学的一个分支，研究弹性体在外力、边界、温度等因素作用下发生的应力、应变、位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度、稳定性。

弹性力学的起源可以追溯到 17 世纪胡克、牛顿的工作，18 世纪伯努利、欧拉的工作，其完整的理论体系则是 19 世纪柯西、纳维建立，圣维南推广的。

外力是物体受到其他对象的作用力，分为体积力（体力）和表面力（面力），笛卡尔坐标中表示为：

\boldsymbol f = [f_x,f_y, f_z]^T

位移是物体内每一物质点空间位置的改变，是现时位置矢量和初始位置矢量的差，笛卡尔坐标中表示为：

\boldsymbol d = [d_x, d_y,d_z]^T

变形是由于物体内部各点位移不同，导致物体大小和形状的改变，包括体积改变和形状畸变。当变形远小于物体最小尺寸时称为小变形。

应力是 Cauchy 引入的概念，它描述物体内力场，是指物体一点上内力的集度。

正应力 $\sigma$ 剪应力 $\tau$ 表示，则在笛卡尔坐标系下，一点的应力状态完全由 9 个分量的应力张量确定：

\boldsymbol \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}

由剪应力互等原理，上式中有 6 个独立分量，写为：

\boldsymbol \sigma = [\sigma_x , \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy} ,\tau_{yz}, \tau_{xz}]^T

应变正应变 $\varepsilon = (l-l_0)/l_0$ 剪应变 $\gamma= \pi/2 - \alpha$ ，以锐化为正，钝化为负。应变在笛卡尔坐标中表示为：

\boldsymbol \varepsilon = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_z \end{bmatrix}

应变同样有 6 个独立分量，可写为：

\boldsymbol \varepsilon = [\varepsilon_x , \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{xy} ,\gamma_{yz}, \gamma_{xz}]^T

符合前 4 点的称为理想弹性体。

静力学问题：

-\nabla \cdot \boldsymbol \sigma = \boldsymbol f

笛卡尔坐标中具体形式为：

\left\{ \begin{align} &\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + f_x=0\\ &\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + f_y=0\\ &\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z} + f_z=0 \end{align} \right.

动力学问题：

\rho\frac{\partial^2 \boldsymbol d}{\partial t^2} + c \frac{\partial \boldsymbol d}{\partial t}-\nabla \cdot \boldsymbol \sigma = \boldsymbol f

小变形问题：

\boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left[ \nabla \boldsymbol d + (\nabla \boldsymbol d)^T \right]

笛卡尔坐标中具体形式为：

\left\{ \begin{align} &\varepsilon_x = \frac{\partial d_x}{\partial x}\\ &\varepsilon_y = \frac{\partial d_y}{\partial y}\\ &\varepsilon_z = \frac{\partial d_z}{\partial z}\\ &\gamma_{xy} = \frac{\partial d_x}{\partial y} + \frac{\partial d_y}{\partial x}\\ &\gamma_{yz} = \frac{\partial d_y}{\partial z} + \frac{\partial d_z}{\partial y}\\ &\gamma_{zx} = \frac{\partial d_z}{\partial x} + \frac{\partial d_x}{\partial z} \end{align} \right.

大变形（有限变形）问题：

\boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left[ \nabla \boldsymbol d + (\nabla \boldsymbol d)^T + (\nabla \boldsymbol d)^T(\nabla \boldsymbol d) \right]

本构关系（物理方程）是指应力和应变之间的关系，和材料性质有关。弹性体的本构关系写为：

\boldsymbol \sigma = \boldsymbol D : \boldsymbol \varepsilon

$\boldsymbol D$ 为弹性矩阵，共 36 个分量。

笛卡尔坐标中物理方程的具体形式为：

\left\{ \begin{align} &\sigma_x = \frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)} \left[ (1- \mu) \varepsilon_x + \mu ( \varepsilon_y+\varepsilon_z)\right] \\ &\sigma_y = \frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)} \left[ (1- \mu) \varepsilon_y + \mu ( \varepsilon_x+\varepsilon_z)\right] \\ &\sigma_z = \frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)} \left[ (1- \mu) \varepsilon_z + \mu ( \varepsilon_x+\varepsilon_y)\right] \\ &\tau_{xy} = \frac{E}{2(1+\mu)} \gamma_{xy} \\ &\tau_{yz} = \frac{E}{2(1+\mu)} \gamma_{yz} \\ &\tau_{zx} = \frac{E}{2(1+\mu)} \gamma_{zx} \end{align} \right.

反过来为：

\left\{ \begin{align} &\varepsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x - \mu( \sigma_y+\sigma_z)\right] \\ &\varepsilon_y = \frac{1}{E} \left[ \sigma_y - \mu( \sigma_x+\sigma_z)\right] \\ &\varepsilon_z = \frac{1}{E} \left[ \sigma_z - \mu( \sigma_x+\sigma_y)\right] \\ &\gamma_{xy} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{xy} \\ &\gamma_{yz} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{yz} \\ &\gamma_{zx} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{zx} \end{align} \right.

以上即为弹性力学最基本的概念和三大方程。弹性力学问题即是对这三大基本方程的求解过程。