弹性力学的基本概念、假设和基本方程

北京理工大学 | 李明健

基本概念

弹性 是指外力或其他作用消失后,物体恢复原状的特性,是固体材料的基本属性之一。弹性体 是仅考虑弹性性质的一种理想物体。

弹性力学 是固体力学的一个分支,研究弹性体在外力、边界、温度等因素作用下发生的应力、应变、位移,校核它们是否具有所需的强度、刚度、稳定性。

弹性力学的起源可以追溯到 17 世纪胡克、牛顿的工作,18 世纪伯努利、欧拉的工作,其完整的理论体系则是 19 世纪柯西、纳维建立,圣维南推广的。

外力 是物体受到其他对象的作用力,分为体积力(体力)和表面力(面力),笛卡尔坐标中表示为:

位移 是物体内每一物质点空间位置的改变,是现时位置矢量和初始位置矢量的差,笛卡尔坐标中表示为:

变形 是由于物体内部各点位移不同,导致物体大小和形状的改变,包括体积改变和形状畸变。当变形远小于物体最小尺寸时称为小变形。

应力 是 Cauchy 引入的概念,它描述物体内力场,是指物体一点上内力的集度。

我们在物体中截取一个六面体的体积微元,垂直于微元面的应力分量为 正应力,用 表示,平行于微元面的为 剪应力(切应力),用 表示,则在笛卡尔坐标系下,一点的应力状态完全由 9 个分量的应力张量确定:

由剪应力互等原理,上式中有 6 个独立分量,写为:

应变 描述物体内的变形情况,它是各部分线元的长度改变和方向(线元之间的夹角)改变。正应变 ,以拉伸为正,压缩为负;剪应变 (切应变)为 ,以锐化为正,钝化为负。应变在笛卡尔坐标中表示为:

应变同样有 6 个独立分量,可写为:


基本假设

  1. 连续性假设:整个物体的体积都被连续的介质填满,不留空隙。
  2. 完全弹性假设:外力卸载后,能完全恢复且无剩余变形,并服从胡克定律。
  3. 均匀性假设:材料是均匀的。
  4. 各向同性假设:一点的各方向弹性都相同。
  5. 小变形小位移假设:各点位移远小于物体尺寸。

符合前 4 点的称为理想弹性体。


基本方程

平衡方程

静力学问题:

笛卡尔坐标中具体形式为:

动力学问题:

几何方程

小变形问题:

笛卡尔坐标中具体形式为:

大变形(有限变形)问题:

物理方程

本构关系(物理方程)是指应力和应变之间的关系,和材料性质有关。弹性体的本构关系写为:

其中 为弹性矩阵,共 36 个分量。

笛卡尔坐标中物理方程的具体形式为:

反过来为:

以上即为弹性力学最基本的概念和三大方程。弹性力学问题即是对这三大基本方程的求解过程。