弹性力学中平面问题的基本方程

北京理工大学 | 李明健

平面问题是弹性力学中的基础问题，分为平面应力和平面应变问题。

平面应力 问题：假设有一薄板，其 $z$ 方向（厚度方向）不受力，则有 $\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$，这样只剩下面内的应力，称为平面应力问题。

平面应变 问题：考虑无限长物体的一个截面，它不沿 $z$ 方向（厚度方向）发生位移，则有 $\varepsilon_z=\gamma_{xz}=\gamma_{yz}=0$，同时 $\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$，但 $\sigma_z\neq0$，这样只剩下面内的应变，称为平面应变问题。

笛卡尔坐标系

平衡方程：

几何方程：

物理方程（平面应力问题）：

反过来写：

物理方程（平面应变问题）：

反过来写：

极坐标系

平衡方程：

几何方程：

物理方程（平面应力问题）：

反过来写：

物理方程（平面应变问题）：

反过来写：

以上。