对流项的对流形式和守恒形式

北京理工大学 | 李明健

流体力学中，对流项通常是最重要，也是最难处理的一项，它是欧拉描述带来的产物，具有强非线性，给解析和数值求解都带来了极大的挑战。而具体应用中，我们通常可以看到对流项的几种不同的书写形式，增加了新手的学习门槛，那么他们具体是什么含义呢？下面我们给出具体的解答。

我们以不可压缩流体的 Navier-Stokes 方程中的对流项为例，通常有以下形式：

对流形式：

\begin{matrix} (1) & u \cdot \nabla u \end{matrix}

守恒形式（张量积）：

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot (u \otimes u) \end{matrix}

$\boldsymbol u$ $\boldsymbol{u} = (u_x, u_y, u_z)$ $\otimes$ 表示张量积。

守恒形式（并矢）：

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot (u u) \end{matrix}

$\boldsymbol{u} \otimes \boldsymbol{u}$ $\boldsymbol{u} \boldsymbol{u}$ 是等价的，二者均可表示为以下形式：

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} u \otimes u = u u = [\begin{array}{lll} u_{x} u_{x} & u_{x} u_{y} & u_{x} u_{z} \\ u_{y} u_{x} & u_{y} u_{y} & u_{y} u_{z} \\ u_{z} u_{x} & u_{z} u_{y} & u_{z} u_{z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

对于前两种写法，在不可压缩流体中，他们同样是等价的，推导过程如下：

$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{b}$ ，有以下恒等式：

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot (a \otimes b) = (\nabla \cdot a) b + a \cdot \nabla b \end{matrix}

$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{b}$ $\boldsymbol u$ ，因此有：

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot (u \otimes u) = (\nabla \cdot u) u + u \cdot \nabla u \end{matrix}

$\boldsymbol{u}$ 满足

\begin{matrix} (7) & \nabla \cdot u = 0 \end{matrix}

具体可参考连续性方程的推导过程，因此，张量积的形式可以简化为：

\begin{matrix} (8) & \nabla \cdot (u \otimes u) = u \cdot \nabla u \end{matrix}

这表明，在不可压缩流体中，对流形式和守恒形式是等价的，我们下面只写并矢形式，不写张量积形式。

$(x, y, z)$ 中，对流形式的展开形式为：

\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} u \cdot \nabla u = [\begin{array}{lll} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \end{array}] \cdot [\begin{array}{lll} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] [\begin{array}{lll} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

具体展开为：

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} u \cdot \nabla u = [\begin{array}{lll} u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial u_{x}}{\partial y} + u_{z} \frac{\partial u_{x}}{\partial z} \\ u_{x} \frac{\partial u_{y}}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial u_{y}}{\partial y} + u_{z} \frac{\partial u_{y}}{\partial z} \\ u_{x} \frac{\partial u_{z}}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial u_{z}}{\partial y} + u_{z} \frac{\partial u_{z}}{\partial z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

守恒形式的展开形式为：

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} \nabla \cdot (u u) = [\begin{array}{lll} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \cdot [\begin{array}{lll} u_{x} u_{x} & u_{x} u_{y} & u_{x} u_{z} \\ u_{y} u_{x} & u_{y} u_{y} & u_{y} u_{z} \\ u_{z} u_{x} & u_{z} u_{y} & u_{z} u_{z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

具体展开为：

\begin{matrix} (12) & \begin{matrix} \nabla \cdot (u u) = [\begin{array}{lll} \frac{\partial (u_{x} u_{x})}{\partial x} + \frac{\partial (u_{y} u_{x})}{\partial y} + \frac{\partial (u_{z} u_{x})}{\partial z} \\ \frac{\partial (u_{x} u_{y})}{\partial x} + \frac{\partial (u_{y} u_{y})}{\partial y} + \frac{\partial (u_{z} u_{y})}{\partial z} \\ \frac{\partial (u_{x} u_{z})}{\partial x} + \frac{\partial (u_{y} u_{z})}{\partial y} + \frac{\partial (u_{z} u_{z})}{\partial z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

在不可压缩流体中，我们通常使用对流形式，更为简洁，而在可压缩流体中，二者并不等价，则需要使用守恒形式。