二阶张量的基本运算

北京理工大学 | 李明健

张量（tensor）可以认为是一种多维数组，其中，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量。

$\boldsymbol i, \boldsymbol j, \boldsymbol k$ $x,y,z$ $\boldsymbol \sigma$ ，可以写为以下分量形式：

σ = i i σ_{x x} + i j σ_{x y} + i k σ_{x z} + j i σ_{y x} + j j σ_{y y} + j k σ_{y z} + k i σ_{z x} + k j σ_{z y} + k k σ_{z z}

有9个分量，同时，该张量可以写为以下矩阵形式：

\begin{matrix} σ = [\begin{array}{lll} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{array}] \end{matrix}

这两种写法是等价的，以下是涉及到二阶张量的常用运算。

二阶张量转置后仍为二维张量，可写为矩阵的转置：

\begin{matrix} σ^{T} = [\begin{array}{lll} σ_{x x} & σ_{y x} & σ_{z x} \\ σ_{x y} & σ_{y y} & σ_{z y} \\ σ_{x z} & σ_{y z} & σ_{z z} \end{array}] \end{matrix}

二阶张量相加后仍为二维张量，可写为矩阵相加：

\begin{matrix} σ + τ = [\begin{array}{lll} σ_{x x} + τ_{x x} & σ_{x y} + τ_{x y} & σ_{x z} + τ_{x z} \\ σ_{y x} + τ_{y x} & σ_{y y} + τ_{y y} & σ_{y z} + τ_{y z} \\ σ_{z x} + τ_{z x} & σ_{z y} + τ_{z y} & σ_{z z} + τ_{z z} \end{array}] \end{matrix}

二阶张量与标量相乘后仍为二维张量，可写为标量与矩阵相乘：

\begin{matrix} k σ = [\begin{array}{lll} k σ_{x x} & k σ_{x y} & k σ_{x z} \\ k σ_{y x} & k σ_{y y} & k σ_{y z} \\ k σ_{z x} & k σ_{z y} & k σ_{z z} \end{array}] \end{matrix}

二阶张量与矢量的点积为矢量，写为分量形式为：

\begin{matrix} σ \cdot u & = (i i σ_{x x} + i j σ_{x y} + i k σ_{x z} + j i σ_{y x} + j j σ_{y y} + j k σ_{y z} + k i σ_{z x} + k j σ_{z y} + k k σ_{z z}) \cdot (u i + v j + w k) \\ = (σ_{x x} u + σ_{x y} v + σ_{x z} w) i + (σ_{y x} u + σ_{y y} v + σ_{y z} w) j + (σ_{z x} u + σ_{z y} v + σ_{z z} w) k \end{matrix}

写为矩阵相乘的形式为：

\begin{matrix} σ \cdot u = [\begin{array}{lll} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{array}] [\begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array}] \end{matrix}

两个矢量的并矢为二阶张量，写为分量形式为：

\begin{matrix} u u = & (u i + v j + w k) (u i + v j + w k) \\ = i i u u + i j u v + i k u w + j i v u + j j v v + j k v w + k i w u + k j w v + k k w w \end{matrix}

写为矩阵形式为：

\begin{matrix} u u = [\begin{array}{lll} u u & u v & u w \\ v u & v v & v w \\ w u & w v & w w \end{array}] \end{matrix}

矢量的梯度为二阶张量，写为分量形式为：

\begin{matrix} \nabla u = & (\frac{\partial}{\partial x} i + \frac{\partial}{\partial y} j + \frac{\partial}{\partial z} k) (u i + v j + w k) \\ = i i \frac{\partial u}{\partial x} + i j \frac{\partial v}{\partial x} + i k \frac{\partial w}{\partial x} + j i \frac{\partial u}{\partial y} + j j \frac{\partial v}{\partial y} + j k \frac{\partial w}{\partial y} + k i \frac{\partial u}{\partial z} + k j \frac{\partial v}{\partial z} + k k \frac{\partial w}{\partial z} \end{matrix}

写为矩阵形式为：

\begin{matrix} \nabla u = [\begin{array}{lll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{array}] \end{matrix}

二阶张量的散度为矢量，写为以下形式：

\nabla \cdot σ = (\frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y x}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z x}}{\partial z}) i + (\frac{\partial σ_{x y}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y y}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z y}}{\partial z}) j + (\frac{\partial σ_{x z}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y z}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z z}}{\partial z}) k

二阶张量的双点积为标量，如以下形式：

σ : ε = σ_{x x} ε_{x x} + σ_{x y} ε_{y x} + σ_{x z} ε_{z x} + σ_{y x} ε_{x y} + σ_{y y} ε_{y y} + σ_{y z} ε_{z y} + σ_{z x} ε_{x z} + σ_{z y} ε_{z y} + σ_{z z} ε_{z z}

以上。