流体力学连续性方程的推导

北京理工大学 | 李明健

这里，我们采用流体力学中最常用的 欧拉观点（欧拉描述），即固定空间位置的观点。假设流体内有一微元体 $\text d x \text d y \text d z$，则质量守恒意味着：微元体内的质量变化（率），应该等于流入微元的质量变化（率）与流出微元的质量变化（率）之差。

假设流体密度为 $\rho$，在微元体 $x,y,z$ 方向的速度分别为 $u,v,w$，以 $x$ 面为例，其质量流率为 $\rho u$，而在 $(x+\text d x)$ 面上，质量流率可以写为泰勒展开形式：

乘以面积 $\text d y \text d z$ ，并综合三个方向，得到微元内流入流出质量变化率为：

由于微元质量为：

微元质量变化率为：

由于 微元质量变化率 等于 微元内流入流出质量变化率，有：

即：

或写为 连续性方程的微分形式：

以上方程适用于一般情况，可以展开为：

欧拉描述下又可以写成：

对于不可压缩流体，由于密度为常数，不可压流体的连续性方程 写为：

以上。