应力、应变、弹性张量的Voigt标记法

北京理工大学 | 李明健

固体力学中，应力张量有9个分量，表示为如下二阶应力张量的形式：

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} σ = [\begin{array}{lll} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

Voigt 标记法 $\times$ 1的列向量：

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} \hat{σ} = [\begin{array}{l} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{y z} \\ σ_{x z} \\ σ_{x y} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

这样就能够减少部分储存和计算量。映射顺序为：

11→1，22→2，33→3，23→4，13→5，12→6

注意，不同软件或文献中可能采用不同的顺序，除上述顺序外，还有以下两种排列顺序：

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} \hat{σ} = [\begin{array}{l} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{y z} \\ σ_{x z} \end{array}], \hat{σ} = [\begin{array}{l} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{x z} \\ σ_{y z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

对于应变张量，其原始形式为：

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} ε = [\begin{array}{lll} ε_{x x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{y x} & ε_{y y} & ε_{y z} \\ ε_{z x} & ε_{z y} & ε_{z z} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

与应力不同的是，通常采用以下表示法：

\begin{matrix} (5) & \begin{matrix} \hat{ε} = [\begin{matrix} ε_{x x} \\ ε_{y y} \\ ε_{z z} \\ 2 ε_{y z} \\ 2 ε_{x z} \\ 2 ε_{x y} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

其中剪切方向应变人为乘以 2，表示工程应变，这种表示的原因如下。

若计算应变能密度，采用二阶张量双点积表示为：

\begin{matrix} (6) & U = \frac{1}{2} σ : ε = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} σ_{i j} ε_{i j} . \end{matrix}

$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}, \, \varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$ ），展开后可简化为：

\begin{matrix} (7) & U = \frac{1}{2} (σ_{11} ε_{11} + σ_{22} ε_{22} + σ_{33} ε_{33} + 2 σ_{23} ε_{23} + 2 σ_{13} ε_{13} + 2 σ_{12} ε_{12}) \end{matrix}

$\varepsilon_{23}, \varepsilon_{13}, \varepsilon_{12}$ ）因对称性被计入两次，故需乘以2。

在 Voigt 标记法中，应变能密度通过向量点积计算：

\begin{matrix} (8) & U = \frac{1}{2} {\hat{σ}}^{T} \cdot \hat{ε} = \frac{1}{2} (σ_{11} ε_{11} + σ_{22} ε_{22} + σ_{33} ε_{33} + σ_{23} (2 ε_{23}) + σ_{13} (2 ε_{13}) + σ_{12} (2 ε_{12})) \end{matrix}

$\varepsilon_{23}, \varepsilon_{13}, \varepsilon_{12}$ ）在公式（5）中已经乘以2，此时正好与张量形式中隐含的系数 2 匹配，使得这两种表达方式完全等价。

$3^4=81$ 个分量，考虑到对称性，一般的各向异性材料有21个独立分量，正交各向异性材料有9个独立分量，各向同性有2个独立分量。本构方程表示为双点积形式：

\begin{matrix} (9) & σ = D : ε \end{matrix}

$\times$ 6的矩阵如下：

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} \hat{D} = [\begin{matrix} λ + 2 G & λ & λ & 0 & 0 & 0 \\ λ & λ + 2 G & λ & 0 & 0 & 0 \\ λ & λ & λ + 2 G & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

$\lambda$ $G$ （剪切模量）为：

\begin{matrix} (11) & λ = \frac{E μ}{(1 + μ) (1 - 2 μ)}, G = \frac{E}{2 (1 + μ)} \end{matrix}

这样本构方程只需要矩阵运算，公式（9）简化为：

\begin{matrix} (12) & \hat{σ} = \hat{D} \hat{ε} \end{matrix}

综上，Voigt 标记法能够降低存储和计算量，同时不丢失物理信息，广泛应用于计算固体力学中。