Poynting 矢量

北京理工大学 | 李明健

从 Maxwell 方程组 出发：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla \times \boldsymbol E = -\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t }\\ &\nabla \times \boldsymbol H = \boldsymbol J + \frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol D = \rho \\ &\nabla \cdot \boldsymbol B = 0 \\ &\nabla \cdot \boldsymbol J = - \frac{\partial \rho }{\partial t} \end{aligned} \right.

$V$ 中，定义场的能量密度（单位体积内的能量）：

w=w(x,y,z,t)

能量守恒体现在：能量的变化（率） = 流出的能量（率） + 场对电荷做的功（率）。

场对电荷作用力密度满足洛伦兹力公式：

\boldsymbol f = \rho \boldsymbol E + \boldsymbol J \times \boldsymbol B

其中电流密度可以写为：

\boldsymbol J = \rho \boldsymbol u

场对电荷系统做的功率密度为：

\boldsymbol f \cdot \boldsymbol u

则能量守恒的微分形式为：

\nabla \cdot \boldsymbol S + \frac{\partial w}{\partial t} = -\boldsymbol f \cdot \boldsymbol u

$\boldsymbol S$ 为能流密度（单位时间流过边界面的能量）。

右边的功率密度，可以展开为：

\begin{aligned} \boldsymbol f \cdot \boldsymbol u & = ( \rho \boldsymbol E + \boldsymbol J \times \boldsymbol B )\cdot \boldsymbol u \\ &= \rho \boldsymbol u \cdot \boldsymbol E \\ &=\boldsymbol J \cdot \boldsymbol E \\ &=\boldsymbol E \cdot(\nabla \times \boldsymbol H)-\boldsymbol E\cdot \frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t} \\ &= - \nabla \cdot (\boldsymbol E \times \boldsymbol H) + \boldsymbol H \cdot ( \nabla \times \boldsymbol E) -\boldsymbol E\cdot \frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t} \\ &= - \nabla \cdot (\boldsymbol E \times \boldsymbol H) - \boldsymbol E \cdot \frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}- \boldsymbol H \cdot \frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \end{aligned}

将该式与能量守恒的左边对比，得到坡印廷（Poynting）矢量：

\boldsymbol S = \boldsymbol E \times \boldsymbol H

以及能量密度变化率：

\frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol E \cdot \frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t} +\boldsymbol H \cdot \frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}

$\text{W/m}^2$ 。

以上。