波动方程

北京理工大学 | 李明健

一般情况下，描述电磁场采用 Maxwell 方程组：

加连续性方程：

其中 $\boldsymbol E$ 为电场强度， $\boldsymbol B$ 为磁通密度，$\boldsymbol H$ 为磁场强度， $\boldsymbol J$ 为体电流密度，$\boldsymbol D$ 为电通密度，$\rho$ 为体电荷密度。

现在我们研究自由空间中的电磁场运动，自由空间中没有电荷、电流：

同时真空中满足以下本构关系：

其中真空中的介电常数、磁导率、电导率分别为：

则有真空中的 Maxwell 方程组：

对 Maxwell 第一式取旋度：

左边展开，右边代入 Maxwell 第二式：

左边代入 Maxwell 第三式：

类似地，可以得到同样形式 $\boldsymbol B$ 的方程，由于真空中电磁波的传播速度为：

因此得到真空中的 波动方程：

在一般介质中，由于色散，线性本构关系不能成立，因此无法得到一般性的波动方程。

同一种介质的 $\varepsilon$ 和 $\mu$ 随电磁波频率变化的现象称为介质的色散。

如果不考虑色散，则可以得到一般介质的波动方程。如果只讨论一定频率的时谐电磁波，则可以推导出 Helmholtz 方程，是一种特殊形式的波动方程。

以上。