Jaumann应力率及其与Cauchy应力的关系

北京理工大学 | 李明健

$\boldsymbol \sigma$ $\sigma_{ij}$ $j$ $i$ 方向的作用力，表示为：

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} σ = [\begin{array}{lll} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ ，其直接反映变形后物体的真实应力分布，适用于小变形分析，但在大变形问题中，其应力率不满足客观性，因此需要引入 Jaumann 应力率等客观应力率。

客观性是指物理定律的形式不应依赖于观察者的参考系（包括平移和旋转），即使材料经历刚体运动（如旋转或平移），材料的本构关系（如应力-应变关系）应保持不变。

假设材料经历纯刚体旋转（无变形），此时真实应力应保持不变。然而 Cauchy 应力的导数由于坐标系旋转，会导致虚假的应力率变化。

Jaumann 应力率是一种客观应力率，用于描述材料在经历大变形（包括旋转）时的应力变化率。它通过修正 Cauchy 应力的时间导数，消除刚体转动的影响，确保物理定律与参考系无关，表示为：

\begin{matrix} (2) & σ^{\nabla} = \frac{D σ}{D t} + σ \cdot Ω - Ω \cdot σ \end{matrix}

$\frac{\text D {\boldsymbol{\sigma}}}{\text D t}$ $\boldsymbol{\Omega}$ 是旋率张量，描述局部旋转速率：

\begin{matrix} (3) & Ω = \frac{1}{2} [\nabla u - (\nabla u)^{T}] \end{matrix}

$\boldsymbol u$ 为速度矢量。速度的梯度实际是一个二阶张量：

\begin{matrix} (4) & \nabla u = [\begin{array}{lll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{array}] \end{matrix}

$u$ $v$ $w$ $\boldsymbol u$ $x$ $y$ $z$ 则为位矢的三个分量坐标。

$\boldsymbol{\Omega}$ 是反对称的，即满足：

\begin{matrix} (5) & Ω^{T} = - Ω \end{matrix}

因此公式（2）还可以写成：

\begin{matrix} (6) & σ^{\nabla} = \frac{D σ}{D t} - σ \cdot Ω^{T} - Ω \cdot σ \end{matrix}

Jaumann 应力率通过减去旋转效应，确保应力率反映真实变形。