Helmholtz 方程

北京理工大学 | 李明健

以一定频率正弦振荡的波称为时谐电磁波，由于一般电磁波可以通过傅里叶变换为时谐波的叠加，因此研究时谐波非常重要。

$\omega$ 的时谐电磁波，我们用复数形式表示：

\begin{aligned} &\hat{\boldsymbol E} = \boldsymbol E e^{j\omega t} \\ &\hat{\boldsymbol B} = \boldsymbol B e^{j\omega t} \end{aligned}

根据欧拉公式：

e^{j\omega t}=\cos \omega t + j\sin \omega t

以电场为例，实部即可表示为：

\boldsymbol E \cos \omega t = \text {Re}[\boldsymbol E e^{j\omega t}]

$\partial/\partial t$ $j\omega$ ，降了时间维。

不考虑色散，本构关系为：

\begin{aligned} &\boldsymbol D=\varepsilon \boldsymbol E \\ &\boldsymbol B=\mu \boldsymbol H \end{aligned}

由一般形式的 Maxwell 方程组：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla \times \hat{ \boldsymbol E} = -\frac{\partial\hat{ \boldsymbol B}}{\partial t }\\ &\nabla \times \hat{\boldsymbol H} = \hat{\boldsymbol J} + \frac{\partial \hat{\boldsymbol D }}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \hat{\boldsymbol D} = \rho \\ &\nabla \cdot \hat{\boldsymbol B} = 0 \\ & \nabla \cdot \hat{\boldsymbol J} = - \frac{\partial \rho }{\partial t} \end{aligned} \right.

得到时谐 Maxwell 方程组为：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times \boldsymbol E =-j\omega\mu \boldsymbol H \\ &\nabla\times \boldsymbol H = \boldsymbol J +j\omega\varepsilon E \\ &\nabla \cdot \boldsymbol E = \frac{\rho} {\varepsilon} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol H =0\\ &\nabla \cdot \boldsymbol J =-j\omega \rho \end{aligned} \right.

取旋度变换得到 Helmholtz方程：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla^2 \boldsymbol E+ k^2 \boldsymbol E = j\omega\mu \boldsymbol J - \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol J)\\ &\nabla^2 \boldsymbol H + k^2 \boldsymbol H = - \nabla \times \boldsymbol J \end{aligned} \right.

$k=\omega \sqrt{\mu\varepsilon}$ $\boldsymbol A$ $\phi$ 辅助求解。

由亥姆霍兹定理，一个矢量的散度和旋度都确定的时候可以唯一确定，令：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla \times \boldsymbol A = \boldsymbol H\\ &\boldsymbol{E}=-{j} \omega \mu \boldsymbol A-\nabla \phi\\ &\nabla \cdot \boldsymbol A=-j \omega \varepsilon \phi \end{aligned} \right.

其中最后一式为洛伦兹规范，则有磁矢位的非齐次矢量波动方程：

\nabla^{2} \boldsymbol {A}+k^{2} \boldsymbol {A}=-\boldsymbol {J}

解为：

\boldsymbol {A}({r})=\int_{V} \boldsymbol {J}\left({r}^{\prime}\right) \frac{{e}^{-{j} k R}}{4 \pi R} \mathrm{d} V, \quad R=\left|{r}-{r}^{\prime}\right|

$r'$ $r$ 是场点矢径，则：

\boldsymbol {E}=-j \omega \mu \boldsymbol {A}-j \frac{1}{\omega \varepsilon} \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol {A})

在无源情况下，Helmholtz 方程变为齐次：

\left\{ \begin{aligned} &\nabla^2 \boldsymbol E+ k^2 \boldsymbol E = 0\\ &\nabla^2 \boldsymbol H + k^2 \boldsymbol H = 0 \end{aligned} \right.

其中如果已经求出电场，则磁场可以写为：

\boldsymbol B =\frac{j}{\omega} \nabla \times \boldsymbol E

以上。