不可压流体中的Chorin投影法

北京理工大学 | 李明健

Chorin投影法是求解不可压流体力学的经典方法，本文具体介绍其原理和求解步骤。

首先，我们要求解的是Navier-Stokes方程，其描述粘性不可压缩流体的动量守恒，一般形式为：

\begin{matrix} (1) & ρ \frac{\partial u}{\partial t} + ρ u \cdot \nabla u = - \nabla p + μ \nabla^{2} u + f \end{matrix}

同时要满足连续性方程如下：

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot u = 0 \end{matrix}

$\boldsymbol u$ $p$ $\rho$ $\mu$ $\boldsymbol f$ 分别为速度、密度、压力、粘度、体力。

直接耦合求解式（1）和式（2）通常是困难的，Chorin三步投影法是一种基于Helmholtz-Hodge原理的算子分裂方法，通过将速度和压力的求解分离，简化计算过程。其基本思想是将速度分解为一个中间速度和一个修正速度，逐步求解压力和速度，首先，我们将动量方程分裂成两个方程：

\begin{matrix} (3) & ρ \frac{u^{*} - u^{n}}{Δ t} = - {(ρ u \cdot \nabla u)}^{n} + {(μ \nabla^{2} u)}^{n} + f^{n} \end{matrix}

和

\begin{matrix} (4) & ρ \frac{u^{n + 1} - u^{*}}{Δ t} = - \nabla p^{n + 1} \end{matrix}

$\Delta t$ $\boldsymbol{u}^*$ $\boldsymbol{u}^{n+1}$ 需要满足无散条件。

$\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{n+1} = 0$ ，因此得到：

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot (\frac{\nabla p^{n + 1}}{ρ}) = \frac{\nabla \cdot u^{*}}{Δ t} \end{matrix}

注意，如果是单一介质，那么该方程可简化为：

\begin{matrix} (6) & \nabla^{2} p^{n + 1} = \frac{ρ}{Δ t} \nabla \cdot u^{*} \end{matrix}

如果是多介质，由于密度存在空间梯度，则要使用原始式（5）的形式。

Chorin 投影法具体求解分以下三步：

$\Delta t$ $\boldsymbol{u}^*$ ，忽略压力项，得到：

\begin{matrix} (7) & u^{*} = u^{n} + \frac{Δ t}{ρ} (- {(ρ u \cdot \nabla u)}^{n} + μ \nabla^{2} u^{n} + f^{n}) \end{matrix}

压力泊松方程为：

\begin{matrix} (8) & \nabla \cdot (\frac{\nabla p^{n + 1}}{ρ}) = \frac{\nabla \cdot u^{*}}{Δ t} \end{matrix}

这一步通常是最耗时的。

$\boldsymbol{u}^{n+1}$ ：

\begin{matrix} (9) & u^{n + 1} = u^{*} - Δ t \nabla p^{n + 1} \end{matrix}

这一步确保修正后的速度场满足不可压缩条件。